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La paradoja de San Petesburgo.



La paradoja de San Petesburgo es como fue bautizado este análisis del matemático FrancesBernoulli en honor al lugar de la conferencia donde tuvo su origen.


Bernoulli pregunta el año 1738 si es erróneo vender en $9000 un cartón de lotería que tiene igual probabilidad de ganar 0 que ganar $20.000, o sea cuyo valor monetario esperado es $10.000. Llega a la conclusión de que no es posible evaluar la situación de la misma forma para un hombre rico que para un hombre pobre. Para este último representa sin duda una ganancia mayor los $1.000 de diferencia, razón por la cual seria comprensible que aceptara la oferta de obtener $9.000 con seguridad. De esta forma se define la paradoja de San Petesburgo donde se plantea la primera noción de utilidad esperada en vez del valor esperado, que después es formalizado por Von Neumann y Morgenstern. (1947)


Otra contribución que plantea Bernoulli es el invento de un juego en que se lanza una moneda. La cantidad de veces que se lanza la moneda hasta que sale cara determina el pago mediante la formula 2^n . El valor esperado de este juego, es decir la probabilidad de que salga cara multiplicado por el pago de esa tirada es igual a 1 para cada caso posible ( 2^n / 2^n). Bernoulli plantea que si medimos el valor esperado de una situación como la suma de los casos posibles multiplicados por su probabilidad de ocurrencia, el valor esperado del juego seria infinito.


El problema es que es absurdo pensar que el valor esperado del juego es infinito a pesar de que la suma de sus valores da este resultado, porque el pago es finito. Si una persona paga $1.000 por participar y sale cara en la primera tirada, el pago seria una perdida de 998 (1.000 menos 2). Solo si sale cara en el lanzamiento número 10 o más, el resultado es positivo ( 24 1000 1024 1000 210 ) y la probabilidad de ocurrencia de este resultado es 1/1024, es decir, su valor esperado es 1.


Por lo tanto el pago máximo de este juego debería ser solo 1, no infinito como plantearía la noción básica de valor esperado. Sin embargo algunas personas estarán dispuestas a pagar más de uno para participar solo por el hecho de existe la probabilidad de ganar un monto mucho mayor.


Para ver esto más claramente supongamos que la fórmula de pagos la cambiamos por $1.000.000*2^n . Ahora tenemos que el valor esperado de cada tirada es 1 millón. Habrán algunas personas que estarán dispuestas a pagar solo un poco más de un millón (aversos al riesgo) y otras que incluso pagarían mucho más (amantes del riesgo). Sin embargo ambos tipos de personas serian irracionales desde el punto de vista de valor esperado, puesto que este es solo un millón, pero si alguien paga $2 millones por participar tiene la opción de ganar $2 millones si sale cara recién en el segundo lanzamiento, $6 millones en el tercer lanzamiento, 14 millones en el cuarto lanzamiento, $30 millones en el tercer lanzamiento y así sucesivamente. El solo hecho de que exista la posibilidad de ganar mucho dinero, y que aumenta significativamente con las repeticiones, motivará a la gente a apostar mucho más que el valor esperado de cada tirada. Esto se podría explicar por la utilidad que produce la "probabilidad de ganar" y su magnitud estará en función del nivel de aversión o propensión al riesgo.


De cualquier forma este experimento demuestra que las personas no funcionan realizando un cálculo exacto del valor esperado. Es por esto que se incluye en el análisis económico la incertidumbre, pero no se considera que probablemente las personas sobreestimen la probabilidad de ganar muy por sobre el valor esperado sobre todo para los del tipo amantes al riesgo.

Aun así es posible que participar en el juego no genere ninguna utilidad, pero el solo hecho de que exista la posibilidad de una ganancia elevada, lleva a los individuos a actuar de forma irracional, con la esperanza de poder lograr esa ganancia ignorando su valor esperado.


Es curioso que justamente del concepto de utilidad esperada que desarrolla Bernoulli en base a estos análisis, que como vimos ya daba luces de su vulnerabilidad, sea del que derive "la teoría de juegos" que desarrollan John Von Neumann y Oskar Morgenstern donde nace el concepto de maximización de la utilidad esperada.



Fuente: Armando Bienestar


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